高考数学必会知识点总结01

§1集合与简易逻辑

一、集合间的关系及其运算

（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“”或“，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）= ；=；= .

（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A、B，

切记：.

（4）集合中元素的个数的计算：

若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是(－1)，所有非空真子集的个数是(－2)。

二、常用逻辑用语：

1、四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p

注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是；否命题是.命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.

3、逻辑联结词：

⑴且(and) ：命题形式 pq； pq pq pq p

⑵或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假

⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假

假 真 假 真 真

假 假 假 假 真

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；

“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；

“非命题”的真假特点是“一真一假”

4、充要条件

由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

全称命题p：； 全称命题p的否定p：。

特称命题p：； 特称命题p的否定p：；

§2函数和导数

一、函数的性质

1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；

2．值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）；

3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：

Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求；比较或的关系；Ⅱ.图象法；

常用的结论

①已知：

若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数；

若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数；

②若是奇函数，且，则.

4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：

（1）.定义法步骤①：设；②作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断正负号。

另解：设那么

上是增函数；

上是减函数.

（2）.（多项式函数）用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则

在A内为增函数；在A内为减函数.

（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法：c.图象法：

d.复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集.

（4）一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

F（）（增）=（增）+（增）； F（）（减）=（减）+（减）；

F（）（增）=（增）（减）； F（）（减）=（减）（增）；

④一个重要的函数：函数在上单调递增；在上是单调递减.

5．函数的周期性

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期. T的整数倍都是的周期。

二、函数的图象

1．基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数、（7）函数.

2．图象的变换

（1）平移变换

①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的；

②函数的图象是把函数的图象沿轴向上平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴向下平移个单位得到的；

（2）对称变换

①函数与函数的图象关于直线x=0对称；

函数与函数的图象关于直线y=0对称；

函数与函数的图象关于坐标原点对称；

②如果函数对于一切都有，那么的图象关于直线对称；如果函数对于一切都有，那么的图象关于点对称。

③函数与函数的图象关于直线对称。

④与关于直对称。

（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）

三、函数的反函数：

1．求反函数的步骤：

（1）求原函数的值域B

（2）把看作方程，解出（注意开平方时的符号取舍）；

（3）互换x、y，得的反函数为.

2．定理：（1），即点在原函数图象上点在反函数图象上；

（2）原函数与反函数的图象关于直线对称.

3．有用的结论：原函数在区间上单调的，则一定存在反函数，且反函数也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。

四、函数、方程与不等式

1．“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设为方程的两个实根。

①若则；

②当在区间内有且只有一个实根，时，

③当在区间内有且只有两个实根时， ④若时

注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

五、指数函数与对数函数

1．指数式与对数式：

对数的三个性质：①；②；③

对数恒等式：①；②；③

对数运算性质：①； ②；

③.

指数运算性质：① ② ③

2．指数函数与对数函数

（1）特征图象与性质归纳（列表）

（2）有用的结论

①函数与（且）图象关于直线对称；函数与（且）图象关于轴对称；函数与（且）图象关于轴对称.

②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？

六、导数：

1．几种常见函数的导数

(1) （C为常数）(2) (3) (4) (5)（6） (7) （8）

2．导数的运算法则

（1）（2）（3）.

3．复合函数的求导法则

设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.

4．导数的几何物理意义：

（1）几何意义：k＝f^/(x₀)表示曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))的切线的斜率。

曲线在点P(x₀,f(x₀))处的切线方程为：

（2）V＝s^/(t)表示即时速度，a=v^/(t) 表示加速度。

5．单调区间的求解过程：已知

①分析的定义域；

②求导数；

③解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。（或用列表法，见课本）

6．求极大、极小值：已知

①分析的定义域；

②求导数 ；

③求解方程（设有根）；

④列表判断个区间内导数的符号，判断是否为极值，如果是，是极大还是极小值。

注：判别是极大（小）值的方法

当函数在点处连续时，

（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；

（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.

注意：f^/(x₀)＝0不能得到当x=x₀时，函数有极值；但是，当x=x₀时，函数有极值f^/(x₀)＝0

7．求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值：

①②③同上；④比较、、，最大的为，最小的为.

注意：极值≠最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）.