【中考专题】动态几何中面积问题与二次函数结合

2021-9-29 17:25:43

内容摘要：

速读文章内容

求一个图形的面积常见的方法有：利用面积公式直接求解，对图形进行割补然后求面积。在平面直角坐标系中，对图形进行割补时，一般选取平行于坐标轴的线段作为图形的底或高，而这条线段可能是一个定值，为解题提供方便，尤其是有关二次函数里求面积最值的时候。

思考

利用二次函数解动态几何中的面积最值，通常用含有自变量的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。

动态问题中的面积不变问题

观察组成这个图形的线段及其相互关系是否发生改变。

【分析】分为E在OA上和AB上两种情况，如下图，当E在OA上时可以直接求出△ODE的面积，此时OE=2b，DM=1；当E在AB上时，△ODE的面积等于矩形面积减去其余3个三角形的面积，此时∠MDC=∠BDE=∠ANE，tan∠ANE=1/2。

（2）【分析】如图，重叠部分的面积是否发生改变取决于四边形DMEN的四边及夹角是否发生变化，易证四边形DMEN是菱形，且菱形的一条对角线DE及相邻两边的夹角没有改变，所以重叠部分的面积也不会发生改变。

巧分割，利用二次函数求面积的最值

一些几何图形题中蕴含着变化着的几何量。解决此类问题需要观察分析几何图形的特征，依据相关图形的性质，找出几何量之间的关系，进而建立函数关系模型，利用函数的相关性质来讨论解决问题。当题目中要求矩形的最大面积时，通常用含有自变量的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。

典型例题

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点在点的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过B点作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积.

【分析】第1种方法也是最容易想到的方法，以AC为底，平移AC，当AC和抛物线相切的时候，△PAC的面积最大，如上图，切线l的k值和AC相同，可以设l的解析式为y=kx+b和抛物线联立解方程，当△=0时，l与抛物线相切，可以求出b的值，然后求出l与AC之间的距离，从而求出△PAC的面积，这是最容易想到却是最麻烦的方法.

第2种方法是，可以看出C点到y轴的距离是一个定值6，过P点做x轴的垂线，交AC于M点，此时△PAC的面积等于3PM(PM·OC/2)，此时设P点的横坐标为a，那么纵坐标可以通过抛物线的解析式求出来，M点的纵坐标也可以通过AC所在直线解析式求出来，则PM的长度就是一个含有a的表达式，根据a的取值范围可以求出PM的最大值，此时△PAC的面积也最大。

我们发现在解决几何中相关面积最值问题，主要是树立数形结合的思想，由计算图形面积公式来寻找两边长之间的变量关系，利用几何图形的性质分别用含 x 的代数式表示出长和宽，求出 y 关于 x 的函数，讨论解答。

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