高中数学:八种三角函数中的数学思想方法,你掌握了吗?

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高中数学:八种三角函数中的数学思想方法,你掌握了吗?

内蒙考试通

一.方程的思想

例1.已知sinθ+cosθ=内蒙考试通,θ内蒙考试通(0,π),则cotθ=________。

解析:由sinθ+cosθ=内蒙考试通平方得

sinθcosθ=内蒙考试通

又θ内蒙考试通(0,π),

所以sinθ>0,cosθ<0,

且sinθ>内蒙考试通

将sinθ,cosθ看作是方程内蒙考试通的两根。

所以sinθ=内蒙考试通,cosθ=内蒙考试通

从而cotθ=内蒙考试通,应填内蒙考试通

二.函数的思想

例2.已知x,y∈[内蒙考试通],且x3+sinx-2a=0①,4y3+sinycosy+a=0②,求cos(x+2y)的值。

解析:设f(u)=u3+sinu。

由①式得f(x)=2a,由②式得

f(2y)=-2a。

因为f(u)在区间[内蒙考试通]上是单调奇函数,

所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[内蒙考试通],

所以x=-2y,即x+2y=0。

所以cos(x+2y)=1。

三.数形结合的思想

例3.函数f(x)=sinx+2内蒙考试通,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是______。

内蒙考试通

解析:f(x)=内蒙考试通

函数f(x)=sinx+2内蒙考试通,x∈[0,2π]的图象(如图1)与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则1<k<3。

四.化归的思想

例4.设α为第四象限的角,若内蒙考试通,则tan2α=_________。

解析:因为内蒙考试通

=内蒙考试通

=内蒙考试通

=内蒙考试通内蒙考试通

所以,tan2内蒙考试通=内蒙考试通

又因为内蒙考试通为第四象限的角,

所以tan内蒙考试通=内蒙考试通

从而求得tan2内蒙考试通=内蒙考试通

五.分类讨论的思想

例5.若△ABC的三内角满足sinA=内蒙考试通①,问此三角形是否可能为直角三角形?

解析:假设△ABC可以为直角三角形。

(1)若B=90°,则A=90°-C,代入①中,得

sin(90°-C)=内蒙考试通

所以cos2C=1+sinC,1-sin2C=1+sinC,

所以sinC=1,即C=90°。这是不可能的,所以B≠90°。

(2)同理,C≠90°。

(3)若A=90°。

①式右边=内蒙考试通

①式左边=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可为直角三角形,此时A=90°。

六.换元的方法

例6. 已知sin3θ+cos3θ=1,求sinθ+cosθ的值。

解析:因为sin3θ+cos3θ

=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)

=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。

设sinθ+cosθ=x(内蒙考试通),

则sinθcosθ=内蒙考试通

所以x内蒙考试通

即x3-3x+2=0,(x-1)2(x+2)=0。

因为内蒙考试通

所以x-1=0,得x=1。

所以sinθ+cosθ=1。

七.整体的方法

例7.证明cos内蒙考试通

证明:设内蒙考试通

b=内蒙考试通

则ab=内蒙考试通

=内蒙考试通

=内蒙考试通

因为b≠0,

所以a=内蒙考试通。即原式得证。

八.类比联想的方法

例8.已知λ为非零常数,x∈R,且f(x+λ)=内蒙考试通。问f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。

分析:由于探索的是周期函数的问题,容易联想到三角函数。又f(x+λ)=内蒙考试通的结构的形式极易与tan(x+内蒙考试通)=内蒙考试通进行类比,故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例,且题中的λ相当于实例中的内蒙考试通。由于周期函数tanx的周期T=4·内蒙考试通,故可猜想f(x)也为周期函数,且周期为4λ。

解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]

=内蒙考试通内蒙考试通

则f(x+4内蒙考试通)=f[(x+2内蒙考试通)+2内蒙考试通]

=内蒙考试通

所以f(x)是周期函数,且4内蒙考试通是它的一个周期

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来源:网络

编辑:朵朵老师

校对:超超老师

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