一.方程的思想
例1.已知sinθ+cosθ=,θ(0,π),则cotθ=________。
解析:由sinθ+cosθ=平方得
sinθcosθ=。
又θ(0,π),
所以sinθ>0,cosθ<0,
且sinθ>,
将sinθ,cosθ看作是方程的两根。
所以sinθ=,cosθ=。
从而cotθ=,应填。
二.函数的思想
例2.已知x,y∈[],且x3+sinx-2a=0①,4y3+sinycosy+a=0②,求cos(x+2y)的值。
解析:设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a,由②式得
f(2y)=-2a。
因为f(u)在区间[]上是单调奇函数,
所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[],
所以x=-2y,即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
三.数形结合的思想
例3.函数f(x)=sinx+2,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是______。
解析:f(x)=
函数f(x)=sinx+2,x∈[0,2π]的图象(如图1)与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则1<k<3。
四.化归的思想
例4.设α为第四象限的角,若,则tan2α=_________。
解析:因为
=
=
=,
所以,tan2=。
又因为为第四象限的角,
所以tan=,
从而求得tan2=。
五.分类讨论的思想
例5.若△ABC的三内角满足sinA=①,问此三角形是否可能为直角三角形?
解析:假设△ABC可以为直角三角形。
(1)若B=90°,则A=90°-C,代入①中,得
sin(90°-C)=,
所以cos2C=1+sinC,1-sin2C=1+sinC,
所以sinC=1,即C=90°。这是不可能的,所以B≠90°。
(2)同理,C≠90°。
(3)若A=90°。
①式右边=
①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形,此时A=90°。
六.换元的方法
例6. 已知sin3θ+cos3θ=1,求sinθ+cosθ的值。
解析:因为sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。
设sinθ+cosθ=x(),
则sinθcosθ=。
所以x,
即x3-3x+2=0,(x-1)2(x+2)=0。
因为,
所以x-1=0,得x=1。
所以sinθ+cosθ=1。
七.整体的方法
例7.证明cos。
证明:设,
b=,
则ab=
=
=。
因为b≠0,
所以a=。即原式得证。
八.类比联想的方法
例8.已知λ为非零常数,x∈R,且f(x+λ)=。问f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。
分析:由于探索的是周期函数的问题,容易联想到三角函数。又f(x+λ)=的结构的形式极易与tan(x+)=进行类比,故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例,且题中的λ相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4·,故可猜想f(x)也为周期函数,且周期为4λ。
解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]
=,
则f(x+4)=f[(x+2)+2]
=。
所以f(x)是周期函数,且4是它的一个周期
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来源:网络
编辑:朵朵老师
校对:超超老师
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