初中数学干货：知识点总结

整理了数学一些知识点！各位同学可以看看哟！

01 —次函数抛物线顶点式

顶点式：y=a（x-h）^2+k（a=?0，k为常数，x=?h）

顶点坐标：（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）

顶点坐标_顶点坐标-解释

在二次函数的图像上

顶点式：y=a（x-h）^2；+k抛物线的顶点P（h，k）

顶点坐标：对于二次函数y=ax^2；

+bx+c其顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b^2；）/4a）

02二次函数口诀速记

二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，

顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线

03 二次函数顶点坐标公式推导

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a=?0）

顶点式：y=a（x-h）^2+k

【抛物线的顶点P（h，k）】

对于二次函数y=ax^2+bx+c

其顶点坐标为（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）

推导：

y=ax^2+bx+c

y=a（x^2+bx/a+c/a）

y=a（x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2）

y=a（x+b/2a）^2+c-b^2/4a

y=a（x+b/2a）^2+（4ac-b^2）/4a

对称轴x=-b/2a

顶点坐标（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）

04 相似三角形

①相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小

（1）理解相似形的概念；

（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

②平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理

理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

③相似三角形的概念

以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

④考点：相似三角形的判定和性质及其应用

熟练掌握相似三角形的判定定理（包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理）和性质，并能较好地应用。

⑤三角形的重心

知道重心的定义并初步应用.

⑥向量的有关概念

⑦向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算

掌握实数与向量相乘、向量的线性运算

05有理数的分类、大小比较和运算

（1）按有理数的定义：

正整数、0、负整数统称为整数；

正分数和负分数统称为分数；

整数和分数统称为有理数。

整数：

①正整数：1，2，3，...；

②零：0；

③负整数：-1，-2，...；

分数：

①正分数：，0.15，...；

②负分数：，-0.15，...；

（2）按有理数的性质分类：

正有理数：

①正整数：1，2，3，...；

②正分数：，0.15，...；

零：0；

负有理数：

负整数：-1，-2，...；

负分数：，-0.15，...；

注意：

（1） 无限循环小数可以写成分数形式，所以是有理数。

（2）所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数集合，所有有理数组成有理数集合。

（3）正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。

有理数的大小比较：

负数；

2.两个负数比较：

①右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

②绝对值大的反而小。

有理数的运算

1.有理数的加法：

加法一般步骤：

①确定符号：同号取相同的符号。

异号取绝对值大的加数的符号。

②确定绝对值:同号将绝对值相加。

异号用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。一个数与0相加，仍得这个数。

用字母表示加法的交换律a+b=b+a；加法结合律a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）。

三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式，对于连加式，根据加法

交换律和加法结合律，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加。

根据算式的特征，恰当地运用运算律，可以使运算简便：

①符号相同的数先相加--同号结合法

②互为相反数的先相加--相反数结合法

③分母相同的数先相加--同分母结合法

④正数与正数，小数与小数相加--同形结合法

2.有理数的减法：

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

加减法混合运算，把减法转化为加法再计算。

3.代数和：有理数加减混合运算时，将加减法统一成加法运算，转化为求几个正数或负数的和。

在一个和式中，可以把各个加数的括号和括号前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

4.有理数的乘法：

乘法步骤：

1、确定符号：同号正，异号负。

2、绝对值：求积。

任何数与0相乘，都得0。任何数与-1相乘都得这个数的相反数。

多个有理数相乘的运算：

几个非0有理数相乘时，当负因数个数是偶数时，积为正；

负因数个数是奇数时，积为负；

乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律；

5.有理数的除法：

除法步骤：

1、确定符号：同号正，异号负。

2、绝对值：相除。

除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数。

0除以任何一个不等于0的数都得0。

06 二次根式的应用知识点总结

二次根式的应用主要体现在两个方面：

①利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；

②利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

常见用法：

（1）设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力；

（2）联系生活实际设计一些方案探究题。

误区提醒：

（1）不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题；

（2）不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。

07 角平分线的性质及判定

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

08 三角形的稳定性

我们在学习三角形的知识中，老师经常会提到的一句话就是：三角形具有稳定性。

稳定性证明：

任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∵ 第三条边不可伸缩或弯折 ，

∴ 两端点距离固定 ，

∴ 这两条边的夹角固定；

∵ 这两条边是任取的 ，

∴ 三角形三个角都固定，进而将三角形固定，

∴ 三角形有稳定性 。

任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接

∴ 两端点距离不固定 ，

∴ 这两边夹角不固定 ，

∴ n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性。

如果不看上面的证明过程，我们就没有办法清晰的理解三角形稳定性的所有定理。

09 全等图形与三角形

1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：

（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；

（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

10 相反数

①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。

②a的相反数-a

③a与b互为相反数:a+b=0

④a-b的相反数是:-a+b或b-a

⑤a+b的相反数是:-a-b

⑥求一个数的相反数方法:在这个数的前面加“-”号.

⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

11 绝对值

1.几何意义：从数轴上表示a的点到原点的距离即为︱a︱

2. ①一个正数的绝对值等于它本身；当a是正数时，︱a︱=a；

②一个负数的绝对值等于它的相反数; 当a是负数时，︱a︱=-a；

③0的绝对值等于0。当a=0时，︱a︱=0。

3.互为相反数的两个数的绝对值相等。

12 倒数

①乘积是1的两个数叫作互为倒数。

②a的倒数是a分之1(a=?0)

③a与b互为倒数 ab=1

④正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数。

13 乘方

①求几个相同因数的积的运算叫做乘方

a^a^…^a=a^n

②底数、指数、幂

14轴对称

轴对称的定义：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

轴对称的性质：

(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

(2)对应线段相等，对应角相等；

(3)关于某直线对称的两个图形是全等图形。

轴对称的判定：

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

这样就得到了以下性质：

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

轴对称作用:

可以通过对称轴的一边从而画出另一边。

可以通过画对称轴得出的两个图形全等。

扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

轴对称的应用

关于平面直角坐标系的X,Y对称意义

如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。

相反的，如果有两点关于直线Y对称，那么点A的横坐标为相反数，纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式（也叫做轴对称公式）

设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c

则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 （4ac-b2）/4a

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。

譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；

矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；

正方形，菱形问题经常添设对角线等等。

另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

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