内容摘要：
速读文章内容
2021年八省联考数学试题解析
2021年八省联考数学试题解析
1． 已知 均为 的子集，且 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B．
解析 由 可知 ，因此 ．
2． 在 张卡片上分别写上 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 位同学，每人 张，则恰有 位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C．
解析 设卡片为 ，对应的同学分别为 ．不妨设卡片 分给了 ，那么根据古典概型，所求概率为 ．
3． 关于 的方程 ，有下列四个命题：
甲： 是该方程的根；
乙： 是该方程的根；
丙：该方程两根之和为 ；
丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
答案 A．
解析 若甲、乙命题均为真命题，则丙、丁均为假命题，所以假命题为甲、乙命题之一．
若甲命题为假命题，乙、丙、丁命题为真命题，则题中方程为 ，两根为 和 ，符合题意．
若乙命题为假命题，甲、丙、丁命题为真命题，则由甲、丙命题为真命题可得方程为 ，有二重根 ，与丁命题矛盾．
综上所述，如果只有一个假命题，则该命题是甲命题．
4． 椭圆 （0" data-formula-type="inline-equation" >）的焦点为 ，上顶点为 ，若 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C．
解析 根据题意，椭圆的半焦距为
根据椭圆的对称性， 为等边三角形，进而
5． 已知单位向量 满足 ，若向量 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B．
解析 根据题意，有
因此 ．
6． 的展开式中 的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D．
解析 设题中多项式为 ，则
于是所求系数即 的展开式中 的系数，为 ．
7． 已知抛物线 上三点 ，直线 是圆 的两条切线，则直线 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B．
解析 由 在抛物线上，可得 ，如图．直线 的斜率为 ．
设 ，，则直线 的方程为
即
其中 是关于 的方程
的两根，从而所求方程为
即
8． 已知 且 ， 且 ， 且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D．
解析 根据题意， 分别是方程
的小于 的正实数解．如图，由于函数 在 上单调递减，在 上单调递增，进而可得 ．
9． 已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是偶函数
答案 AC．
解析 函数 的导函数
；当 时，，因此
对于选项A， 在 上单调递增，命题正确；
对于选项B， 有唯一零点 ，命题错误；
对于选项C，由于 ，命题正确；
对于选项D，由于函数 的定义域为 ，不关于原点对称，于是 既不是奇函数也不是偶函数，命题错误．
10． 设 为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若
D．若 ，则
答案 BC．
解析 对于选项A，取 ， 即为反例；
对于选项B，若 ，则
而 ，于是 ，即 ；
对于选项C，若
对于选项D，取 ， 即为反例．
综上所述，正确的命题有BC．
11． 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 BCD．
解析 如图，为正方体的直观图．
选项A错误，B正确；
对于选项C，由于 在面 上的投影为 ，且 ，于是根据三垂线定理及其逆定理，命题正确；
对于选项D，由于 在面 上的投影为 ，且 ，于是根据三垂线定理及其逆定理，命题正确．
综上所述，选项BCD正确．
12． 设函数 ，则（ ）
A．
B． 的最大值为
C． 在 单调递增
D． 在 单调递减
答案 AD．
解析 题中函数即 ．
对于选项A，函数 有周期 ，命题正确；
对于选项B，利用斜率的几何意义，可得 的最大值为 ，如图．
对于选项C和D，利用斜率的几何意义，函数 在相邻的最值点之间单调，记 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，，因此选项C错误，选项D正确．
综上所述，选项AD正确．
备注 也可以利用导数，函数 的导函数
于是
0,quad f'(0)<0,quad f'left(dfrac{pi}4ight)<0," data-formula-type="block-equation" >
结合 作出判断．
13． 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 的球面上，其上、下底面半径分别为 和 ，则该圆台的体积为＿＿＿＿．
答案 ．
解析 根据题意，圆台的下底面的圆周为球的大圆，进而圆台的高为
因此所求体积为
备注 圆台的体积公式
其中 分别为圆台的高、下底面半径、上底面半径．
14． 若正方形一条对角线所在直线的斜率为 ，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为＿＿＿＿．
答案 ．
解析 设所求斜率为 ，则根据夹角公式，有
15． 写出一个最小正周期为 的奇函数 ＿＿＿＿．
答案 ．
解析 取周期为 的奇函数 改造即得．
备注 取 上的满足 的函数 ，延拓即可：
16． 对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 ，为使误差 在 的概率不小于 ，至少要测量＿＿＿＿ 次（若 ，则 ）．
答案 ．
解析 根据题意，有 ，于是
因此至少要测量 次．
17． 已知各项都为正数的数列 满足 ．
（1）证明：数列 为等比数列．
（2）若 ，，求 的通项公式．
答案 （1）略；
（2）．
解析 （1）根据题意，有
于是数列 为公比为 的等比数列．
（2）与第 小题类似，有
从而 是常数列 ，因此
备注 直接用求数列通项的特征根法即得．
18． 在四边形 中，，．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求 ．
答案 （1）；
（2）．
解析 （1）根据题意， 在以 为圆心， 为半径的圆上，设 的中点为 ， 于 ，如图．
由于 ，，于是 ，因此
（2）与第 小题类似，此时设 （$0
解得 ，因此 ．
19． 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 需要调整的概率分别为 ，各部件的状态相互独立．
（1）求设备在一天的运转中，部件 中至少有 个需要调整的概率．
（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 ，求 的分布列及数学期望．
答案 （1）；
（2）分布列略，．
解析 （1）根据题意，所求概率为
（2）根据题意，有
于是所求分布列为
所求期望为
备注 由于各部件状态独立，于是可以用
进行验算．
20． 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．
（1）求四棱锥的总曲率．
（2）若多面体满足：顶点数 棱数 面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
答案 （1）；
（2）常数为 ．
解析 （1）四棱锥的顶点数 ，面数 ，棱数 ．五个顶点处的面角和为
于是四棱锥的总曲率为
（2）设 个面的边数分别为 ，则
因此所有顶点处的面角和为
于是总曲率为
21． 双曲线 （0" data-formula-type="inline-equation" >）的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在 上．当 时，．
（1）求 的离心率．
（2）若 在第一象限，证明：．
答案 （1）；
（2）略．
解析 （1）此时 为双曲线的半通径 ，于是
其中 为双曲线的半焦距， 为双曲线的离心率，解得 ．
（2）如图，作双曲线的右准线 ，交 于点 ，连接 ，．
由于 ，且 ，于是 是等腰三角形，于是 ，因此欲证命题即 ，根据角平分线定理的逆定理，只需要证明
根据双曲线的焦准定义，命题得证．
22． 已知函数 ，．
时，．
（2）若 ，求 ．
答案 （1）略；
（2）．
解析 （1）根据题意，有 即
设左侧函数为 ，则其导函数
于是
因此当 时，命题成立．而当 时，有
因此命题得证．
（2）设 ，则 ，其导函数
于是 ，又
于是根据第 小题的结果， 在 上单调递增．
情形一 若 ，则 0" data-formula-type="inline-equation" >．若 ，则在区间 上均有 0" data-formula-type="inline-equation" >，于是 在此区间上单调递增，因此在该区间上有
不符合题意．若 ，则在区间 上， 存在唯一零点 ，因此 在 上单调递增，因此在该区间上有
不符合题意．
情形二 若 2" data-formula-type="inline-equation" >，则 ．考虑到
于是函数 在 上有唯一零点 ，因此 在 上单调递减，因此在区间上有
不符合题意．
情形三 若 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，因此 在 上有 ．当 时，有
命题也成立．
综上所述，．
线上、线下一对一个性化辅导咨询
各校区咨询热线
特色英语（雅思、托福、音标）咨询专线：0717-6850335
17386686450（向老师）、13487217253（付老师）
一对一教学部咨询专线：18972564157（王老师）
13697282248（龚老师）、17307200217（周老师）
开羽教育线上班课及线上一对一课程咨询热线：
18972564157（王老师）
开羽教育秭归体验店：13387267881（梅老师）
CBD校区：0717-6228228
小学：15572723377（刘老师）13972001984（张老师）
地址：宜昌市CBD大洋百货7号楼3单元2楼
夷陵区校区：0717-7801678
小学：15972725493（祝老师）
初中：13986771258（蔡老师）
高中：13872532998（曾老师）
地址：宜昌市夷陵区夷兴大道35号山水和颐酒店大厦三楼
开发区校区：0717-6227171
13886740755（韩老师）、13872563204（李老师）
地址：宜昌市东山开发区泰富广场2楼 森地广场旁
隆康路校区：0717-6772949
13972009328（刘老师）、13986802552（胡老师）
地址：宜昌市伍家区隆康路20号长江瑞景1号楼(建行旁)
中南路校区：0717-6628905
13997698050（钟老师）、18727257030（景老师）
地址：宜昌市城东大道与中南一路交叉路口依山郡6号楼
盈嘉校区：0717-6731508
13972574567（何老师）、13508604553（詹老师）
地址：宜昌市珍珠路盈嘉写字楼2楼
开羽远征艺术生文化课集训营咨询热线：
13986774715（肖老师）
各学科课程学习方法咨询热线
小学
语文 张老师 13972001984／数学 杨老师 13872647550／
英语 刘老师 13972009328
初中
语文 谭老师 13487221344／数学 胡老师 13986802552／
英语 李老师 13872563204／物理 张老师 15872611627／
化学 张老师 13545701884
高中
语文 何老师 13972574567／数学 徐老师 15971639582／
英语 黄老师 15997605166／物理 肖老师13986774715／
化学 向老师 13872630978
