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2021年湖北省七市州高三三月联考数学试题解析
2021年湖北省七市州高三三月联考数学试题解析
1． 已知集合 1}" data-formula-type="inline-equation" >，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D．
解析 由于 ，，因此 ．
2． 设 （ 为虚数单位），则复数 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 A．
解析 ．
3． 已知等比数列 中，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B．
解析 根据题意，有
从而 ，进而 ．
4． 年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利．下图是 年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局 年统计年报）．根据图表可得出的正确统计结论是（ ）
A．五年来贫困发生率下降了 个百分点
B．五年来农村贫困人口减少超过九成
C．五年来农村贫困人口减少得越来越快
D．五年来目标调查人口逐年减少
答案 B．
解析 略．
5． 已知圆 过点 ，，，则圆 在点 处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C．
解析 容易求得圆 的方程为
于是所求切线方程为
即 ．
备注 将 代入选项，可排除ABD．
6． 函数 （）的大致图象为（ ）
答案 A．
解析 为偶函数，且 0" data-formula-type="inline-equation" >．
7． 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共 人进人决赛，其中高一年级 人，高二年级 人，高三年级 人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级 人相邻的前提下，高一年级 人不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D．
解析 将高二年级的 人捆绑，再利用隔板法，可知所求概率为
8． 已知函数 是定义在区间 上的可导函数，满足 0" data-formula-type="inline-equation" >，且 （ 是 的导函数），若 $0
答案 C．
解析 构造函数 ，则其导函数
于是 在 上单调递减，从而
选项A 选项即 a+1" data-formula-type="inline-equation" >．取 ，，可知选项A错误．
选项B 选项即 ，若选项B成立，则必有
{m e}^{ rac1a-a}iff&dfrac1a-a+ln(1-a)<0end{split}" data-formula-type="block-equation" >
成立，取 ，则
矛盾，因此选项B错误．
选项C 选项即 dfrac1{a^2}" data-formula-type="inline-equation" >，下面证明
记左侧函数为 ，则其导函数
于是函数 在 上单调递减，从而
因此选项C正确．
选项D 项即 ，若选项D成立，则必有
{m e}^{ rac1a-a}iffdfrac1a-a-2ln a<0" data-formula-type="block-equation" >
成立，取 ，则
矛盾，因此选项D错误．
9． 设 为实数，且 b>0>c>d" data-formula-type="inline-equation" >，则下列不等式正确的是（ ）
A．$c^2
B．$a-c
答案 AD．
解析 略．
10． 函数 （0" data-formula-type="inline-equation" >，0" data-formula-type="inline-equation" >，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．把 图象上所有点向右平移 个单位长度后得到函数 的图象
C． 在区间 上单调递减
D． 是 图象的一个对称中心
答案 CD．
解析 选项A 根据题意，有 ，且
于是 ，将 代入，结合 ，可得 ，因此
选项A错误．
选项B 由于
选项B错误．
选项C 因为 ，于是 ，选项C正确．
选项D 由于 ，选项D正确．
11． 已知抛物线 的焦点为 ，过 与 轴垂直的直线交抛物线 于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．抛物线 的准线方程为
C．线段 的长为
D．直线 与抛物线 相切
答案 BC．
解析 选项AB 抛物线 的焦点 ，准线 ，选项A错误，选项B正确．
选项C 根据抛物线的通径长公式，，选项C正确．
选项D 联立抛物线 与直线 的方程，有
其判别式 ，于是直线 与抛物线 不相切，选项D错误．
12． 半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 ，则（ ）
A．
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为
D． 与平面 所成角的正弦值为
答案 BCD．
解析 二十四等边体可由正方体切截而成，如图所示．
选项A 由于 ，且 ，选项A错误．
选项B 该二十四等边体的体积为正方体的体积减去 个三棱锥的体积，即
选项B正确．
选项C 该二十四等边体外接球即正方体的棱切球，于是所求表面积为 ，选项C正确．
选项D 与平面 所成角为 ，于是选项D正确．
13． 已知矩形 中，，，设 与 交于点 ，则
答案 ．
解析 如图建系，则 ，，从而
14． 二项式 的展开式中， 的系数为 ，则该二项式展开式中所有项的系数和为＿＿＿＿．
答案 ．
解析 展开式的通项
令 ，得
取 ，得展开式中所有项的系数和为 ．
15． 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 的星的亮度为 （）．已知“心宿二”的星等是 ，“天津四”的星等是 ，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的＿＿＿＿ 倍．（结果精确到 ．当 较小时，．）
答案 ．
解析 根据题意，有
又
于是 ．
16． 已知双曲线 （0" data-formula-type="inline-equation" >）的右焦点为 ，点 的坐标为 ，点 为双曲线 左支上的动点，且 的周长不小于 ，则双曲线 的离心率的取值范围为＿＿＿＿．
答案 ．
解析 记 （0" data-formula-type="inline-equation" >），则 ．取双曲线 的左焦点 ，于是 的周长
根据题意，有
于是双曲线 的离心率 ．
17． 在 中，角 所对的边分别是 ，且 ．
（1）求角 ．
（2）若 是 的中点，，，求 的面积．
答案 （1）；
（2）．
解析 （1）根据题意，有
解得 ，于是 ．
（2）根据正弦定理，有
于是 为等边三角形，其面积 ．
18． 已知等差数列 ，其前 项和为 ，若 ，．
（1）求数列 的通项公式．
（2）若数列 满足：，求数列 的前 项和 ．
答案 （1）；
（2）．
解析 （1）根据题意，有
于是公差 ，从而通项公式为 ．
（2）当 时，有
两式相减，得
结合第 小题的结果，可得 （），又当 时，有
符合上述通项公式，因此 （），从而
进而
19． 如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形，，，，．
（1）求证：．
（2）设
答案 （1）略；
（2）．
解析 （1）作 于 ，则 ，从而
进而
于是 ，又
因此 ．
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，则
根据题意，有
20． 已知椭圆 （b>0" data-formula-type="inline-equation" >）的左、右焦点分别是双曲线 的左、右顶点，且椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线的距离为 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，，经过左焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，且满足
答案 （1）；
（2）．
解析 （1）根据题意，有 ，且
从而 ，于是椭圆 的方程为 ．
（2）根据题意，设直线 的方程为 ，与椭圆 的方程联立，得
设 ，，，由
由 在椭圆 上，有
解得 ，于是四边形 的面积
21． 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 有 个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过半的电子元件正常工作，则系统 可以正常工作，否则就需维修．
（1）当 ， 时，若该电子产品由 个系统 组成，每个系统的维修所需费用为 元，设 为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求 的分布列与数学期望．
（2）为提高系统 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为 ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统 可以正常工作．问 满足什么条件时，可以提高整个系统 的正常工作概率？
答案 （1）分布列略，数学期望为 ；
．
解析 （1）当 时，一个系统有 个电子元件，则一个系统需要维修的概率为
设 为该电子产品需要维修的系统个数，则 ，，于是
其中 ，因此 的分布列为
数学期望
（2）记 个元件组成的系统正常工作的概率为 ． 个元件中有 个正常工作的概率为 ，因此系统工常工作的概率
在 个元件组成的系统中增加两个元件得到 个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
情形一 原系统中至少有 个元件正常工作，概率为
情形二 原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有 个正常工作，概率为
情形三 原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为
于是
时， 单调递增，即能提高整个系统 的可靠性．
22． 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）求 的单调区间．
．
答案 （1）单调递增区间为 和 ，没有单调递减区间；
（2）略．
解析 (1)函数 的导函数
设
则其导函数
于是 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值，亦为最小值
因此 在 和 上均单调递增．
(2)根据题意，有
也即
设不等式右侧函数为 ，则其导函数
考虑在 处进行切线放缩，有
证明从略．此时有
设右侧函数为 ，则其导函数
因此 在 处取得极小值，亦为最小值
因此原命题得证．
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