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湖北省2021届高三四月调研考试数学压轴题解析
湖北省2021届高三四月调研考试数学压轴题解析
7． 为了更好地解决就业问题，国家在 年提出了“地摊经济”．为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．某摊主 年 月初向银行借了免息贷款8000元用于进货，因质优价廉，供不应求．据测算：每月获得的利润是该月初投人资金的 ，每月底扣除生活费 元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到 年 月底该摊主的年所得收入为（取 ，） （ ）
A． 元
B． 元
C． 元
D． 元
答案 D．
解析 从 年 月起，设第 个月月初的进货资金为 元，则 ，且
于是
从而
扣除贷款后，可得所求收入为 元．
8． 在 中，，，，点 为 的外心，若
A．
B．
C．
D．
答案 C．
解析 根据题意，有
于是 ．
12． 设 ，则下列关于 的判断正确的有 （ ）
A．对称轴为 ，
B．最小值为
C．一个极小值为
D．最小正周期为
答案 AC．
解析 根据题意，有
其中 ，．由于 ， 为 的周期，且
可作出函数图象如下：
于是选项AC正确，选项BD错误．
16． 若存在两个不相等的正实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是＿＿＿＿．
答案 ．
解析 解法一 题中等式即
构造函数 ，则其导函数
考虑到
且 单调递增，于是
因此实数 的取值范围为 ．
解法二 根据拉格朗日中值定理，有
，于是实数 的取值范围为 ．
21． 过双曲线 （0" data-formula-type="inline-equation" >）的左焦点 的动直线 与 的左支交于 两点，设 的右焦点为 ．
（1）若 为边长为 的正三角形，求 的标准方程．
（2）若存在直线 ，使得 ，求 离心率的取值范围．
答案 （1）；
（2）．
解析 （1）根据题意，有
于是 ，从而
解得
因此所求标准方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，与双曲线方程联立，得
设 ，，由于 ，有
于是
又 在双曲线左支上，于是
从而
综上所述， 离心率的取值范围为 ．
22． 已知 ，．
（1）讨论 的单调区间．
（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
答案 （1）当 时， 的单增区间为 ，无单调递减区间；当 0" data-formula-type="inline-equation" > 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）．
解析 （1）根据题意，函数 的导函数
情形一 时，．
情形二 0" data-formula-type="inline-equation" > 时，在区间 上有 ，在区间 上有 0" data-formula-type="inline-equation" >．
综上所述，当 时， 的单增区间为 ，无单调递减区间；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）对函数
进行端点分析．
可得讨论分界点为 ．
情形一 ．此时考虑讨论 系数的分界点 ．
情形一 ．此时
于是在区间 上，有
进而在该区间上 单调递减，因此在该区间上，有
不符合题意．
情形一 ．此时
于是在区间 上，有
进而在该区间上 单调递减，因此在该区间上，有
不符合题意．
情形二 ．此时有
符合题意．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
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