数学科学研究所创始所长陈秀雄在偏微分方程和复几何领域取得重要突破

上科大数学科学研究所创始所长陈秀雄在偏微分方程和复几何领域又取得重大突破。日前，他与合作者美国石溪大学程经睿在国际著名期刊《美国数学会志》（Journal of The American Mathematical Society ）发表两篇重要研究论文。他们的研究给出了关于一类四阶完全非线性椭圆方程的一系列先验估计，进而解决了若干有关凯勒流形上常标量曲率度量和卡拉比极值度量的著名问题，包括长期未决的强制性猜想和测地稳定性猜想。审稿人认为，这一成果“将注定成为几何和分析两个领域经典”。法国科学院院士吉恩-皮埃尔·德玛依认为，这是“对当代复微分几何一个极其重要的贡献”的工作。

凯勒流形上常标量曲率度量的存在性是过去六十多年来几何中最核心的问题之一，它的研究吸引了几代杰出的几何分析学家们。菲尔兹奖得主西蒙·唐纳森解释道：“这一问题甚至可以追溯到19世纪关于黎曼曲面的研究。20 世纪下半叶陆续出现了颇负盛名的成果，丘成桐对卡拉比猜想的证明则是鼎鼎有名的开山之作，这个关于凯勒-爱因斯坦度量（常标量曲率的特殊情形）的存在性问题可化为广义相对论中爱因斯坦方程的解的研究。”上世纪50年代，为了寻找凯勒流形上给定凯勒类中的典范度量，卡拉比引进了标量曲率平方的积分并研究其变分问题。这一积分后来被称作卡拉比能量，其临界点则被叫做卡拉比极值度量（极值度量）。常标量曲率度量是一类特殊的极值度量。关于常标量曲率度量的存在性，有三个著名的猜想，即稳定性猜想、强制性猜想和测地稳定性猜想。

稳定性猜想限制在凯勒-爱因斯坦度量时称为丘成桐猜想，由数学家丘成桐于上世纪九十年代提出。更一般的稳定性猜想在文献中被称为丘-田-唐纳森猜想。强制性猜想由田刚、陈秀雄等人分别在不同的背景下提出。测地稳定性猜想由唐纳森于1996年提出，根扎于其凯勒几何研究纲领。

常标量曲率度量的存在性可转化成一类四阶完全非线性椭圆方程解的存在性。陈-程的工作恰恰就是在K-能量强制性或测地稳定性的假设下证明这类方程解的存在。这类方程的研究极为困难。“在此之前除了些零星的结果外，在很大程度上似乎遥不可及。”唐纳森说，“陈秀雄和程经睿的工作根本地改变了这一面貌。他们最先给出了关于这类四阶方程的一系列精彩而巧妙的先验估计，这是证明解的存在性的关键步骤。”美国科学院院士布莱恩·劳森评价 “这个估计前所未见，乃绝佳力作”。他特别指出，“在分析方面，陈和程工作的另一个非凡成就是证明了弱解的光滑性，域内专家本来的共识是这样的证明得等上几十年。”

强制性猜想和测地稳定性猜想的证明之外，陈-程这两篇文章中还有许多其它突破性的结果。尤其需要指出的是，他们给出了环对称凯勒流形上丘-田-唐纳森稳定性猜想的证明，即将唐纳森在环对称凯勒曲面上的经典定理推广到了高维。这是满足某种拓扑条件的凯勒流形上丘-田-唐纳森稳定性猜想的第一个一般情形的证明。“这些卓越的工作应该会在数学的其它领域包括与复微分几何相去甚远的领域产生影响。”美国数学会会士克劳德·勒布润说。

陈秀雄近年来力作连连。除了这里描述的成就，他与王兵合作证明了法诺凯勒里奇流极限的弱紧性,继而与孙崧和王兵合作证明了极限的唯一性，并给出法诺流形上稳定性猜想的一个基于凯勒里奇流的新证明。值得一提的是，陈教授这次的合作者程经睿曾多次访问上科大数学科学研究所，在攻读博士研究生期间完成了这项工作。孙崧、王兵等多位合作者也先后到数学所访问交流。

论文链接（点击阅读原文获取更多内容）：

https://www.网址未加载/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00967-0/

https://www.网址未加载/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00966-9/

摄 影 陶冬青

排 版 王泽家

编 辑 高 瑄

今天“分享”“点赞”“在看”了吗？